Hakekat Matematika II
1. Pernyataan Pernyataan atau preposisi atau kalimat matematika tertutup adalah kalimat matematika yang mempunyai nilai kebenaran, artinya sudah pasti benarnya atau sudah pasti salahnya dan tidak mempunyai dua arti. Sedangkan lawannya adalah kalimat matematika terbuka atau bukan pernyataan atau bukan preposisi, yaitu kalimat yang belum mempunyai nilai kebenaran, artinya belum mempunyai kepastian benar atau salah.
2. Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk
Pernyataan tunggal adalah pernyataan sederhana yang hanya terdiri dari satu kalimat, dan tidak mengandung suatu pernyataan lain sebagai komponen ataukomponen bagiannya. Sebaliknya pernyataan mjemuk adalah pernyataan yang mengandung pernyataan lain sebagai komponennya.
Pernyataan tunggal adalah pernyataan sederhana yang hanya terdiri dari satu kalimat, dan tidak mengandung suatu pernyataan lain sebagai komponen ataukomponen bagiannya. Sebaliknya pernyataan mjemuk adalah pernyataan yang mengandung pernyataan lain sebagai komponennya.
3. Nilai Kebenaran Karena setiap pernyataan hanyalah benar atau salah, maka kepada setiap pernyataan itu diberi nilai kebenaran, iatu benar (B) dan salah (S). Dalam hal ini nilai kebenaran itu mencakup pula nilai kebenaran pernyataan tunggal maupun pernyataan majemuk.
4. Operasi Logika Operasi-operasi logika matematika adalah kata-kata perangkai untukmembentuk pernyataan majemuk dari beberapa pernyataan tunggal. Operasi-operasi logika itu meliputi negasi (penyangkalan: ), konjungsi (dan: ), disjungsi (atau: ), implikasi (jika maka: ) dan biimplikasi (jika dan hanya jika: ). Urutan pemakaian operasi-operasi logika berturut-turut negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi, kecuali jika ada tanda kurung, maka urutan pengerjaan berturut-turut kurung kecil ( ), kurung kurawal { } dan terakhir kurung besar [ ].
5. Tabel Kebenaran Tabel kebenaran adalah tabel untuk memudahkan menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk. Banyaknya baris dan banyaknya kolom dari table ini tergantung pada banyaknya komponen yang akan dicari kebenarannya ( 2n dengan n = banyaknya komponen).
6. Kuantor Suatu kalimat terbuka dapat menjadi kalimat tertutup yang mempunyai nilai kebenaran setelah dibubuhi kuantor. Kuantor ini dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang dinotasikan “ “ mempunyai arti “semua” atau “setiap”, dan kuantor eksistensial yang dinotasikan “ “ mempunyai arti “beberapa” atau “sekurang-kurangnya satu”. Pada dasarnya kuantor itu hanyaada dua macam seperti tersebut di atas, walaupun muncul dalam berbagai macam bentuk. Ada dua definisi yang banyak dipakai dalam pembahasan kuantor, yaitu 1. ( x ) ( y ) p (x , y) ( x ) [ ( y ) p (x , y) ] 2. ( y ) ( x ) p (x , y) ( y ) [ ( x ) p (x , y) ]. Selain kedua definisi pokok ini dikenal pula 1. ( y ) ( y ) p (x , y) berarti “Untuk tiap x dan untuk tiap y berlaku p (x , y)”. 2. ( x ) ( y ) p (x , y) berarti “ Ada x dan ada y sehingga berlaku p (x , y).
Sebaliknya, penggabungan dua kuantor yang berbeda tidak memenuhi sifat komutatif, karena pernyataan-pernyataan akhirnya tidaklah ekuivalensi logis, misalnya :
1. ( x ) ( y ) p (x , y) ( y ) ( y ) p (x , y)
2. ( x ) ( y ) p (x , y) ( x ) ( y ) p (x , y)
7. Negasi Pernyataan Berkuantor Selain kedua definisi pokok kuantor (dalam Kegiatan Belajar 1 modul ini), juga ada dua buah postulat yang berlaku secara umum dan dapat diterima pengertiannya secara logis, yaitu : 1. [ ( x ) p(x) ] ( x ) [ p(x) ] 2. [ ( x ) p(x) ] ( x ) [ p(x) ] Kedua postulat kuantor ini selain dipakai dalam menentukan nilai kebenaran suatu proposisi berkuantor, juga bersama-sama dengan definisi pokok terdahulu akan sangat membantu dalam menentukan negasi proposisi berkuantor, baik dengan satu kuantor maupun dengan dua kuantor. Sedangkan penekanan pemakaiannya, yaitu untuk keperluan mengubah dari negasi kuantor universal ke kuantor eksistensial, dan dari negasi kuantor eksistensial ke kuantor universal.
Kuantor universal yang dinotasikan “ “ mempunyai arti “semua” atau “setiap”, dan kuantor eksistensial yang dinotasikan “ “ mempunyai arti “beberapa” atau “sekurang-kurangnya satu”. Pada dasarnya kuantor itu hanyaada dua macam seperti tersebut di atas, walaupun muncul dalam berbagai macam bentuk. Ada dua definisi yang banyak dipakai dalam pembahasan kuantor, yaitu 1. ( x ) ( y ) p (x , y) ( x ) [ ( y ) p (x , y) ] 2. ( y ) ( x ) p (x , y) ( y ) [ ( x ) p (x , y) ]. Selain kedua definisi pokok ini dikenal pula 1. ( y ) ( y ) p (x , y) berarti “Untuk tiap x dan untuk tiap y berlaku p (x , y)”. 2. ( x ) ( y ) p (x , y) berarti “ Ada x dan ada y sehingga berlaku p (x , y).
Sebaliknya, penggabungan dua kuantor yang berbeda tidak memenuhi sifat komutatif, karena pernyataan-pernyataan akhirnya tidaklah ekuivalensi logis, misalnya :
1. ( x ) ( y ) p (x , y) ( y ) ( y ) p (x , y)
2. ( x ) ( y ) p (x , y) ( x ) ( y ) p (x , y)
7. Negasi Pernyataan Berkuantor Selain kedua definisi pokok kuantor (dalam Kegiatan Belajar 1 modul ini), juga ada dua buah postulat yang berlaku secara umum dan dapat diterima pengertiannya secara logis, yaitu : 1. [ ( x ) p(x) ] ( x ) [ p(x) ] 2. [ ( x ) p(x) ] ( x ) [ p(x) ] Kedua postulat kuantor ini selain dipakai dalam menentukan nilai kebenaran suatu proposisi berkuantor, juga bersama-sama dengan definisi pokok terdahulu akan sangat membantu dalam menentukan negasi proposisi berkuantor, baik dengan satu kuantor maupun dengan dua kuantor. Sedangkan penekanan pemakaiannya, yaitu untuk keperluan mengubah dari negasi kuantor universal ke kuantor eksistensial, dan dari negasi kuantor eksistensial ke kuantor universal.
8. Penarikan Kesimpulan
Argumen didefinisikan sebagai kelompok proposisi yang jika dapat diturunkan konklusi secara logis dari premis-premisnya disebut valid, jika tidakdinamakan argumen yang invalid. Penarikan konklusi dalam penentuan validitas argumen tidaklah sederhana, sebab erat sekali kaitannya dengan kebenaran dan kesalahan premis-premisnya.
Argumen didefinisikan sebagai kelompok proposisi yang jika dapat diturunkan konklusi secara logis dari premis-premisnya disebut valid, jika tidakdinamakan argumen yang invalid. Penarikan konklusi dalam penentuan validitas argumen tidaklah sederhana, sebab erat sekali kaitannya dengan kebenaran dan kesalahan premis-premisnya.
Leave a Comment